矩阵论-广义逆矩阵的定义与性质

第一节

1.1 矩阵的单侧逆

设A为n阶矩阵，当且仅当$\exists$ n阶矩阵B，使得 $AB=BA=E$，称A为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵，且A的逆矩阵唯一，记作$A^{-1}$。

若将方阵的逆矩阵定义推广到m${\times}$n的矩阵上，则可以定义一种单侧逆。

首先，我们需要给出左逆矩阵与右逆矩阵的定义：

设$A \in C^{m{\times}n}$,若存在矩阵$B\in{C^{m{\times}n}}$,使得$BA=E_n$,则称矩阵$A$为左可逆，其中$B$为$A$的一个左逆矩阵，记作$A_L^{-1}$。类似地，可以给出右逆矩阵的定义：设$A \in C^{m{\times}n}$,若存在矩阵$B\in{C^{m{\times}n}}$,使得$AB=E_m$,则称矩阵$A$为右可逆，其中$B$为$A$的一个右逆矩阵，记作$A_R^{-1}$。

这样，我们就得到了关于逆矩阵的进一步拓展。

在求解线性方程组问题中，我们需要运用矩阵单侧逆的定义，以下我们给出两个定理：

定理1.1 设$A\in C^{m{\times}n}$是左可逆的，且$B\in{C^{m{\times}n}}$为$A$的一个左逆矩阵，则对于线性方程组$AX=b$,若满足$(I_m-AB)b=0$,则存在形如$X=Bb$的解，其中$X={(A^{H}A)^{-1}}A^{H}b$为方程的唯一解。我们可以给出以下证明：

设$X_0$为方程的解，则由$AX=b$可得$b=AX_0$，又因为$BA=I_m$,代入$b=AX_0$有$b=A(BA)X_0=ABAX_0=ABb$,整理该式得到$(I_m-AB)b=0$。

反过来，若$(I_m-AB)b=0$，则$ABb=b$,从而$X_0=Bb$为方程组$AX=b$的解。因为$A$为左可逆，故$rank(A)=n$，因此方程组$AX=b$有唯一解，且可得$X={(A^HA)^{-1}}A^Hb$。

若$A$为右可逆，情况则较为简单。因为$AA_R^{-1}=I_m$,则对于$\forall b \in C^m$,都有$AA_R^{-1}=I_mb=b$,故$X=A_R^{-1}b$为$AX=b$的解，据此我们给出以下定理：

定理1.2 设$A\in C^{m{\times}n}$是右可逆的，则线性方程组$AX=b$对任意$b \in C^m$均有解，且$X=A_R^{-1}b$为该线性方程组的解，特别地，$X_0=A^H{(AA^H)^{-1}}b$为方程$AX=b$的一个解。

在求解线性方程组问题时，上述两个定理能为我们提供一些便利。

1.2 减号广义逆

在矩阵单侧逆矩阵的基础上，我们进一步给出减号广义逆的定义：

设$A \in C^{m\times n}$，若存在矩阵$G \in C^{m\times n}$,使得$AGA=A$,则将矩阵$G$称作$A$的一个减号广义逆。

根据定义我们知道，对于任意矩阵$A$,该矩阵的减号广义逆并非唯一，因此，我们将$A$的全部减号广义逆的集合记作$A\{1\}$,其中$A\{1\}$的元素用$A_1^{-}$,$A_2^{-}$,…表示。

得到了减号广义逆的定义后，该如何求减号广义逆同样是必须回答的问题。因此，我们给出以下定理：

定理2.1 设$A \in C^{m\times n}$,且$rank(A)=n$，若存在可逆矩阵$P \in C^{m\times n}$与$Q \in C^{m\times n}$，使得 $PAQ = \begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$,则$G \in A\{1\}$的充分必要条件为$G=Q \begin{bmatrix} I_r & U \\ V & W\end{bmatrix}P$,其中$U \in C^{r \times (m-r)}$,$V \in C^{(n-r) \times r}$，$W \in C^{(n-r) \times (m-r)}$为任意矩阵。

定理的必要性证明如下：

设$G$为$A$的一个任意减号广义逆，则有$AGA=A$，故令$G=Q \begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}P$，将$G$代入$AGA=A$中得到，$AQ \begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}PA=A$，

又因为$PAQ = \begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}$，故$PA=\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}Q^{-1}$,$AQ=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}$,

因此有$AQ \begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}PA=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}Q^{-1}=A$，

整理该式子，进一步有$PAQ=\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}X & 0\\0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$,

比较上式得到，$X=I_r$.

根据这一定理，我们可以利用矩阵行列变换性质，构造矩阵$\begin{bmatrix}A & I_m \\I_n &0 \end{bmatrix}$，以求取$A$的减号广义逆矩阵$G$。这里举出例子：

设$A=\begin{bmatrix} 1&1&1&-2 \\0&1&2&0 \\ -1&0&-1&4 \end{bmatrix}$,求$A$的减号广义逆。

​ 解 $\begin{bmatrix}A & I_3 \\I_4 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1&-2&1&0&0 \\0&1&2&0&0&1&0 \\ -1&0&-1&4&0&0&1 \\1&0&0&0&0&0&0 \\0&1&0&0&0&0&0 \\0&0&1&0&0&0&0 \\0&0&0&1&0&0&0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&0&0&0&{1/2}&{-1/2}&{-1/2} \\0&1&0&0&1&0&1 \\ 0&0&1&0&{-1/2}&{1/2}&{-1/2} \\1&0&0&3&0&0&0 \\0&1&0&-2&0&0&0 \\0&0&1&1&0&0&0 \\0&0&0&1&0&0&0 \end{bmatrix}$.

于是，$P=\begin{bmatrix} {1/2}&{-1/2}&{-1/2} \\ 1&0&1 \\{-1/2}&{1/2}&{-1/2} \end{bmatrix}$, $Q=\begin{bmatrix} 1&0&0&3 \\ 0&1&0&-2 \\0&0&1&1 \\0&0&0&1 \end{bmatrix}$.

所以，$A$的减号广义逆$G$为$Q\begin{bmatrix} I_2 & U \\ V & W\end{bmatrix}P$,其中$U \in C^{2 \times 1}$，$V \in C^{2\times 2}$，$W \in C^{2 \times 1}$.

1.3 加号广义逆

在减号广义逆的基础上，我们将定义另一种广义逆矩阵：

设$A \in C^{m \times n}$,若存在矩阵$G \in C^{m \times n}$,满足$AGA=A$;$GAG=G$;$(AG)^H=AG$;$(GA)^H=GA$，则将$G$称作$A$的Moore-Penrose广义逆，简称作$A$的M-P逆，并将$A$的任意M-P逆记作$A^+$。

通过定义可知，一个矩阵若为矩阵$A$的M-P逆，则该矩阵必定为矩阵$A$的减号广义逆。

为了计算一个矩阵的M-P逆，我们需要做出一些推导：

设$A \in C^{m \times n}$，对$A$进行满秩分解得到$A =BC$，其中$B \in C^{m \times r}$,$C \in C^{r \times n}$,$r$为$A$的秩。

令$G=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$,易验证满足M-P逆的四个条件。这里给出计算例子：

设$A=\begin{bmatrix} 1&1&1&-2 \\0&1&2&0 \\ -1&0&-1&4 \end{bmatrix}$,求$A$的加号广义逆。

​ 解$A=BC=\begin{bmatrix} 1&1&1 \\0&1&2 \\ -1&0&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&-3 \\0&1&0&2 \\ 0&0&1&-1 \end{bmatrix}$,

其中$CC^H=\begin{bmatrix} 10&-6&3 \\-6&5&-2 \\ 3&-2&2 \end{bmatrix}$,$B^HB=\begin{bmatrix} 2&1&2 \\1&2&3 \\ 2&3&6\end{bmatrix}$.

​ 故$A^{+}=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\0&1&0 \\ 0&0&1 \\ -3&2&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10&-6&3 \\-6&5&-2 \\ 3&-2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&1&2 \\1&2&3 \\ 2&3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&-1 \\1&1&0 \\ 1&2&-1\end{bmatrix}$

​ $=1/30 \begin{bmatrix} 21&-9&9 \\26&-4&12 \\ -13&17 &-7 \\2&2&8\end{bmatrix}$.

第二节

2.1 减号广义逆的性质与证明

2.2 加号广义逆的性质与证明