矩阵论-广义逆矩阵的定义与性质

第一节 广义逆矩阵的定义及计算

1.1 矩阵的单侧逆

在大学线性代数课程中，我们学习过逆矩阵的概念：设$A$为$A$阶矩阵，当且仅当存在$n$阶矩阵B，使得 $AB=BA=E$，称$A$为可逆矩阵，其中$E$为$n$阶单位矩阵，且$A$的逆矩阵唯一，记作$A^{-1}$。

在计算逆矩阵时，我们通常默认该矩阵为方阵，即$m=n且det(A) \neq 0$，但当矩阵不为方阵时，我们是否可以设想一种类似逆矩阵的定义？将方阵的逆矩阵定义推广到$m \times n$的矩阵上，我们可以定义一种单侧逆。

设$A \in C^{m{\times}n}$,若存在矩阵$B\in{C^{m{\times}n}}$,使得$BA=E_n$,则称矩阵$A$为左可逆，其中$B$为$A$的一个左逆矩阵，记作$A_L^{-1}$。类似地，可以给出右逆矩阵的定义：设$A \in C^{m{\times}n}$,若存在矩阵$B\in{C^{m{\times}n}}$,使得$AB=E_m$,则称矩阵$A$为右可逆，其中$B$为$A$的一个右逆矩阵，记作$A_R^{-1}$。

这样，我们就得到了关于逆矩阵的进一步拓展，当然，仅仅得到矩阵单侧逆的定义尚且是不够的，在一些情况下，我们需要计算矩阵的单侧，所以，这里有必要研究如何计算矩阵的单侧逆。

针对矩阵左逆的计算，通过矩阵左逆的定义可知，$A_L^{-1}A=E_n$,故只需构造$A_L^{-1}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$,即可满足定义，同理构造$A_R^{-1}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$，得到矩阵右逆的表达式。这里举出例子：

设$A=\begin{bmatrix} 1&1&1&-2 \\0&1&2&0 \\ -1&0&-1&4 \end{bmatrix}$，分别求$A_L^{-1}$与$A_R^{-1}$。

观察矩阵的秩，发现$rank(A)=3<矩阵列数=4$,故矩阵$A$不为列满秩矩阵，该矩阵左不可逆，无需计算$A_L^{-1}$。

又因为$rank(A)=3=矩阵行数=3$，故矩阵$A$为行满秩矩阵，该矩阵右可逆，

根据公式$A_R^{-1}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$，

计算得到$A_R^{-1}=1/30 \begin{bmatrix} 21&-9&9 \\26&-4&12 \\ -13&17 &-7 \\2&2&8\end{bmatrix}$.

1.2 减号广义逆

在矩阵单侧逆矩阵的基础上，我们进一步给出减号广义逆的定义：

设$A \in C^{m\times n}$，若存在矩阵$G \in C^{m\times n}$,使得$AGA=A$,则将矩阵$G$称作$A$的一个减号广义逆。

根据定义我们知道，对于任意矩阵$A$,该矩阵的减号广义逆并非唯一，因此，我们将$A$的全部减号广义逆的集合记作$A\{1\}$,其中$A\{1\}$的元素用$A_1^{-}$,$A_2^{-}$,…表示。

得到了减号广义逆的定义后，我们同样需要知道，如何计算一个矩阵的减号逆。因此，我们给出以下定理：

定理1.2.1 设$A \in C^{m\times n}$,且$rank(A)=n$，若存在可逆矩阵$P \in C^{m\times n}$与$Q \in C^{m\times n}$，使得 $PAQ = \begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$,则$G \in A\{1\}$的充分必要条件为$G=Q \begin{bmatrix} I_r & U \\ V & W\end{bmatrix}P$,其中$U \in C^{r \times (m-r)}$,$V \in C^{(n-r) \times r}$，$W \in C^{(n-r) \times (m-r)}$为任意矩阵。

定理的必要性证明如下：

设$G$为$A$的一个任意减号广义逆，则有$AGA=A$，

故令$G=Q \begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}P$，

将$G$代入$AGA=A$中得到，$AQ \begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}PA=A$，

又因为$PAQ = \begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}$，

故$PA=\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}Q^{-1}$,$AQ=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}$,

因此有$AQ \begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}PA=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}Q^{-1}=A$，

整理该式子，进一步有$PAQ=\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X & U \\ V & W\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_r &0\\0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}X & 0\\0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$,

比较上式得到，$X=I_r$.

根据这一定理，我们可以利用矩阵行列变换性质，构造矩阵$\begin{bmatrix}A & I_m \\I_n &0 \end{bmatrix}$，以求取$A$的减号广义逆矩阵$G$。这里举出例子：

设$A=\begin{bmatrix} 1&1&1&-2 \\0&1&2&0 \\ -1&0&-1&4 \end{bmatrix}$,求$A$的减号广义逆。

​ 解 $\begin{bmatrix}A & I_3 \\I_4 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1&-2&1&0&0 \\0&1&2&0&0&1&0 \\ -1&0&-1&4&0&0&1 \\1&0&0&0&0&0&0 \\0&1&0&0&0&0&0 \\0&0&1&0&0&0&0 \\0&0&0&1&0&0&0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&0&0&0&{1/2}&{-1/2}&{-1/2} \\0&1&0&0&1&0&1 \\ 0&0&1&0&{-1/2}&{1/2}&{-1/2} \\1&0&0&3&0&0&0 \\0&1&0&-2&0&0&0 \\0&0&1&1&0&0&0 \\0&0&0&1&0&0&0 \end{bmatrix}$.

于是，$P=\begin{bmatrix} {1/2}&{-1/2}&{-1/2} \\ 1&0&1 \\{-1/2}&{1/2}&{-1/2} \end{bmatrix}$, $Q=\begin{bmatrix} 1&0&0&3 \\ 0&1&0&-2 \\0&0&1&1 \\0&0&0&1 \end{bmatrix}$.

所以，$A$的减号广义逆$G$为$Q\begin{bmatrix} I_2 & U \\ V & W\end{bmatrix}P$,其中$U \in C^{2 \times 1}$，$V \in C^{2\times 2}$，$W \in C^{2 \times 1}$.

1.3 加号广义逆

在上一节中，我们知道一个矩阵的减号逆并不是唯一的，这对我们实际的计算可能会产生一些困难。我们是否能够增加一些条件，使得在减号逆之上，再定义一种既具有减号广义逆的性质，又方便计算，结果唯一的逆矩阵？

因此，在这样的前提下，我们将定义另一种广义逆矩阵：

设$A \in C^{m \times n}$,若存在矩阵$G \in C^{m \times n}$,满足$AGA=A$;$GAG=G$;$(AG)^H=AG$;$(GA)^H=GA$，则将$G$称作$A$的Moore-Penrose广义逆，简称作$A$的M-P逆，并将$A$的任意M-P逆记作$A^+$。

通过定义可知，一个矩阵若为矩阵$A$的M-P逆，则该矩阵必定为矩阵$A$的减号广义逆。

为了计算一个矩阵的M-P逆，我们需要做出一些推导：

设$A \in C^{m \times n}$，对$A$进行满秩分解得到$A =BC$，其中$B \in C^{m \times r}$,$C \in C^{r \times n}$,$r$为$A$的秩。

令$G=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$,易验证满足M-P逆的四个条件。这里给出计算例子：

设$A=\begin{bmatrix} 1&1&1&-2 \\0&1&2&0 \\ -1&0&-1&4 \end{bmatrix}$,求$A$的加号广义逆。

​ 解$A=BC=\begin{bmatrix} 1&1&1 \\0&1&2 \\ -1&0&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&-3 \\0&1&0&2 \\ 0&0&1&-1 \end{bmatrix}$,

其中$CC^H=\begin{bmatrix} 10&-6&3 \\-6&5&-2 \\ 3&-2&2 \end{bmatrix}$,$B^HB=\begin{bmatrix} 2&1&2 \\1&2&3 \\ 2&3&6\end{bmatrix}$.

​ 故$A^{+}=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$

​ $=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\0&1&0 \\ 0&0&1 \\ -3&2&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10&-6&3 \\-6&5&-2 \\ 3&-2&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&1&2 \\1&2&3 \\ 2&3&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&-1 \\1&1&0 \\ 1&2&-1\end{bmatrix}$,

​ $=1/30 \begin{bmatrix} 21&-9&9 \\26&-4&12 \\ -13&17 &-7 \\2&2&8\end{bmatrix}$.

第二节 广义逆矩阵的性质及其证明

2.1 矩阵单侧逆的性质及其证明

在求解线性方程组问题中，我们需要运用矩阵单侧逆的定义，以下我们给出两个定理：

定理2.1.1 设$A\in C^{m{\times}n}$是左可逆的，且$B\in{C^{m{\times}n}}$为$A$的一个左逆矩阵，则对于线性方程组$AX=b$,若满足$(I_m-AB)b=0$,则存在形如$X=Bb$的解，其中$X={(A^{H}A)^{-1}}A^{H}b$为方程的唯一解。我们可以给出以下证明：

设$X_0$为方程的解，则由$AX=b$可得$b=AX_0$，又因为$BA=I_m$,代入$b=AX_0$有$b=A(BA)X_0=ABAX_0=ABb$,整理该式得到$(I_m-AB)b=0$。

反过来，若$(I_m-AB)b=0$，则$ABb=b$,从而$X_0=Bb$为方程组$AX=b$的解。因为$A$为左可逆，故$rank(A)=n$，因此方程组$AX=b$有唯一解，且可得$X={(A^HA)^{-1}}A^Hb$。

若$A$为右可逆，情况则较为简单。因为$AA_R^{-1}=I_m$,则对于$\forall b \in C^m$,都有$AA_R^{-1}=I_mb=b$,故$X=A_R^{-1}b$为$AX=b$的解，据此我们给出以下定理：

定理2.1.2 设$A\in C^{m{\times}n}$是右可逆的，则线性方程组$AX=b$对任意$b \in C^m$均有解，且$X=A_R^{-1}b$为该线性方程组的解，特别地，$X_0=A^H{(AA^H)^{-1}}b$为方程$AX=b$的一个解。

在求解线性方程组问题时，上述两个定理能为我们提供一些便利。

2.2 减号广义逆的性质及其证明

由减号广义逆的计算方式可知，对于任意矩阵$A$,通过行列变换$\begin{bmatrix}A & I_m \\I_n &0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}I & P \\Q &0 \end{bmatrix}$,则$A$的减号广义逆矩阵$G=Q \begin{bmatrix} I_r & U \\ V & W\end{bmatrix}P$，因为$U,V,W$为任意矩阵，因此我们可知，任意矩阵$A$的减号广义逆并不唯一。但在什么条件下，一个矩阵的减号广义逆唯一呢？这里给出定理：

定理2.1.1 设$A \in C^{m \times n}$，$G \in A\{1\}$,则$G$存在且唯一的充分必要条件为 $A$为非奇异阵。

以下是对该定理的证明：

充分性：若$AGA=A$为非奇异阵，则$A \in C^{m \times m}$为方阵且$A ^{-1}$存在，因为$AGA=A$,在等式两边同时分别左乘右乘$A ^{-1}$,可以得到$AG=E \to G=A^{-1}$,又因为一个矩阵的逆矩阵唯一，故此时矩阵$A$的减号广义逆退化为它的逆矩阵，且具有唯一性。

必要性：当$rank(A)=0$时，$A=0$，此时$A\{1\} \in C^{n \times m}$,与题设$A \in C^{m \times n}$冲突，故$rank(A)>0$；当$A$不为方阵时，即$A \in C^{m \times n}$，其中$m \neq n$,由定理1.2.1可知，$G \in A\{1\}$不唯一；当$A$为方阵但$rank(A) < n$,此时$A ^{-1}$不存在，$G \in A\{1\}$同样不唯一。

以上我们证明了在何种情况下，一个矩阵的减号广义逆唯一，接下来，我们将研究减号广义逆在解线性方程组中的应用，以下给出相应定理及证明。

定理2.1.2 设$A \in C^{m \times n}$，$G \in A\{1\}$，当线性方程组$Ax=b$有解时，该方程组的通解为$x=Gb+(I_n-GA)c$,其中$G$为矩阵$A$的减号广义逆，$c$为任意$n$维列向量。

以下时对该定理的证明：

由线性方程组解的结构可知，对于非齐次线性方程组$Ax=b$而言，其解由$Ax=0$的通解和$Ax=b$的一个特解组成，因此我们需要对$b$进行讨论：

（1）当$b\neq0$时，线性方程组$Ax=b$为非齐次线性方程组。由减号广义逆定义易得$x=Gb$为$Ax=b$的解，即$Ax=AGb=b$，故$x=Gb$为$Ax=b$的一个特解。

（2）当$b=0$时，线性方程组$Ax=0$为齐次线性方程组。由定理1.2.1可知$G=Q \begin{bmatrix} I_r & U \\ V & W\end{bmatrix}P$，

故$I_n-GA=I_n-Q \begin{bmatrix} I_r & U \\ V & W\end{bmatrix}PA$，

$$rank(I_n-GA)=rank(Q^{-1}(I_n-GA)Q)=Temp$$. 进一步化简上式，得到$$Temp=rank(I_n-\begin{bmatrix} I_r&U \\ V&W\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_r&0 \\ 0&0\end{bmatrix})=rank(\begin{bmatrix} 0&0 \\ -V&I_{n-r}\end{bmatrix})=n-r$$. 因此对任意线性方程组$$Ax=0$$，存在形如$$x=(I_n-GA)c$$的解，即$$Ax=A(I_n-GA)c=Ac-AGAc$$,又因为$$AGA=A$$,故$$Ac-AGAc=Ac-Ac=0$$,这说明$$x=(I_n-GA)c$$为$$Ax=0$$的解。 综上所述，对于线性方程组$$Ax=b$$而言，存在通解$$x=Gb+(I_n-GA)c$$. ### 2.3 加号广义逆的性质及其证明 我们知道，M-P逆是对减号广义逆的一种拓展，减号广义逆在为方阵且满秩时，将退化为可逆矩阵，具有唯一性，但M-P逆是否具有唯一性，还需要额外的证明，以下给出定理： 定理2.2.1 设$$A \in C^{m \times n}$$，$$A^{+}$$为设$$A$$的M-P逆，则该M-P逆具有唯一性。 证明：设$$G_1,G_2$$均为$$A$$的M-P逆，故对于$$G_i(i=1,2)$$均满足$$AG_iA=A$$;$$G_iAG_i=G_i$$;$$(AG_i)^H=AG_i$$;$$(G_iA)^H=G_iA$$. 可以验证$$G_1=G_1AG_1=(G_1A)^{H}G_1=A^{H}G_1^{H}G_1$$,又因为$$G_2$$为$$A$$的M-P逆，故有$$A^{H}=A^{H}G_2^{H}A^{H}$$,代入前式，有$$A^{H}G_2^{H}A^{H}G_1^{H}G_1=(G_2A)^{H}(G_1A)^{H}G_1=G_2AG_1AG_1=G_2AG_1$$. 同样地，$$G_2=G_2AG_2=G_2(AG_2)^{H}=G_2G_2^{H}A^{H}$$,因为$$G_1$$为$$A$$的M-P逆，故有$$A^{H}=A^{H}G_1^{H}A^{H}$$,代入前式，有$$G_2G_2^{H}A^{H}G_1^{H}A^{H}=G_2(AG_2)^{H}(AG_1)^{H}=G_2AG_2AG_1=G_2AG_1$$. 对比$$G_1,G_2$$可以发现，$$G_1=G_2$$，故一个矩阵的M-P逆具有唯一性。 对于M-P逆而言，它与一般的逆矩阵相比，具有相似的性质，以下将给出一些性质与相应证明： 定理2.2.2 设$$A \in C^{m \times n}$$， 设$$k \in C$$， $$A^{+}$$则满足如下性质： （1）$$(A^{+})^{+}=A$$. （2）$$(A^{+})^{H}=(A^{H})^{+}$$. （3）$$(kA)^{+}=k^{+}A^{+}$$,其中$$k^{+} = \begin{cases}1/k &k \neq 0\\0 &k=0\end{cases}$$. （4）若$$A \in C^{m \times n}$$为列满秩，则有$$A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$$,若$$A \in C^{m \times n}$$为行满秩，则有$$A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$$. （5）若$$A$$存在满秩分解$$A=BC$$，则$$A^{+}=C^{+}B^{+}$$. 证明（1）、（2）、（3）通过直接代入可以验证。 证明（4）：若$$A$$为列满秩，则存在满秩分解$$A=AI_n$$,其中$$B=A,C=I_n$$,又因为$$A^{+}=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$$，故代入$$B=A,C=I_n$$，可以得到$$A^{+}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}$$;同样地，若$$A$$为列满秩，则存在满秩分解$$A=I_mA$$，$$B=I_m,C=A$$,代入$$A^{+}=C^H(CC^H)^{-1}(B^HB)^{-1}B^H$$可以得到$$A^{+}=A^{H}(AA^{H})^{-1}$$. 证明（5）：因为$$A$$存在满秩分解$$A=BC$$，其中$$B$$为列满秩阵，$$C$$为行满秩阵，由（4）可知，$$B^{+}=(B^{H}B)^{-1}B^{H}$$,$$C^{+}=C^{H}(CC^{H})^{-1}$$,故$$A^{+}=C^{H}(CC^{H})^{-1}(B^{H}B)^{-1}B^{H}=C^{+}B^{+}$$. ## 第三节 ### 3.1 Cramer法则及其推广 设线性方程组$$Ax=b$$,其中$$A \in C^{m \times n}$$,$$x=[x_1,x_2...x_n]^{T} \in C^{n},b=[b_1,b_2...b_n]^{T} \in C^{n}$$,在矩阵$$A$$为方阵且为满秩阵时，即$$A \in C^{m \times m}，det(A) \neq 0$$,方程组$$Ax=b$$的解可以由Cramer法则直接导出。 Cramer法则 设线性方程组$$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{n1}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...a_{n2}x_n=b_2\\...........................\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$$, 对应系数行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}&...&a_{n1}\\a_{11} &a_{12}&...&a_{n1}\\...&...&...&...\\a_{n1} &a_{n2}&...&a_{nn} \end{vmatrix}$$记作$$det(A)$$,用$$b=[b_1,b_2...b_n]^{T}$$替换$$A$$中的第$$i$$列，记作$$det(A)_i$$, 则线性方程组$$Ax=b$$的解可以表示为$$x_i=\frac{det(A)_i}{det(A)},(i=1,2,...n)$$. 可以发现，Cramer法则在求解线性方程组时，所给出以行列式表示的解时，必须要求矩阵$$A$$为方阵，即$$A \in C^{m \times m}$$,但矩阵$$A$$不为方阵时，是否还能够使用行列式来表示线性方程组的解？以下给出定理： 定理3.1.1 设$$A \in C^{m \times n}$$，当矩阵$$A$$列满秩时，线性方程组$$Ax=b$$有解的充分必要条件为$$det({A^HA})\neq 0$$,其解$$x={(A^HA)^{-1}}A^Hb$$,当矩阵$$A$$行满秩时，线性方程组$$Ax=b$$有解的充分必要条件为$$det(AA^{H})\neq 0$$，其解$$x=A^H{(AA^H)^{-1}}b$$. 结合定理2.2.2可以发现，当矩阵$$A$$列满秩或行满秩时，其线性方程组解的表示恰好为$$x=A^{+}b$$。 根据定理3.1.1进一步证明：设矩阵$$A$$行满秩，且$$det(AA^{H})\neq 0$$，则对于线性方程组$$Az=b$$而言，$$x=A^H{(AA^H)^{-1}}b$$为该方程组的一个解，即$$Az=AA^{H}{(AA^H)^{-1}}b=b$$,故$$z={(AA^H)^{-1}}b$$为方程组$$AA^{H}u=b$$的唯一解，由Cramer法则可以得到$$u_i=\frac{det(AA^{H})_i}{det(AA^{H})}$$,其中$$AA^{H}_i$$表示用$$b=[b_1,b_2,...b_n]^{T}$$替换$$AA^{H}_i$$第$$i$$列所得到的矩阵。 综上，线性方程组$$Ax=b$$的解$$x=A^H{(AA^H)^{-1}}b$$可以进一步表示为$$x=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ji}\frac{det(AA^{H})_i}{det(AA^{H})}$$, 用矩阵表示则为$$x=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{n2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{det(AA^{H})_1}{det(AA^{H})}\\\frac{det(AA^{H})_2}{det(AA^{H})}\\.\\.\\\frac{det(AA^{H})_n}{det(AA^{H})} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\textstyle\sum_{j=1}^{n}a_{j1}\frac{det(AA^{H})_i}{det(AA^{H})}\\\textstyle\sum_{j=1}^{n}a_{j2}\frac{det(AA^{H})_i}{det(AA^{H})}\\.\\.\\\textstyle\sum_{j=1}^{n}a_{jn}\frac{det(AA^{H})_i}{det(AA^{H})} \end{bmatrix}$$. ### 3.2 最佳最小二乘解与极小范数解 在2.1节中，我们讨论了：对于线性方程组$$Ax=b$$，存在通解$$x=Gb+(I_n-GA)c$$，其中$$G$$为$$A$$的减号广义逆。结合3.1节中对Cramer法则的推广，我们又得到了当矩阵$$A$$行满秩或列满秩时解的情况。接下来，将给出定理，对这些情况进行总结。 定理3.2.1 设$$A \in C^{m \times n}$$,$$B \in C^{m}$$,则线性方程组$$Ax=b$$有解的充分条件为$$AA^{+}b=b$$,此时方程组的通解为$$x=A^{+}b+(I_n-A^{+}A)c$$,其中$$c \in C^n$$为任意列向量。 当方程组满足条件$$AA^{+}b=b$$时，我们将该线性方程组称之为相容，此时$$x=A^{+}b+(I_n-A^{+}A)c$$即为方程组通解，若不满足条件$$AA^{+}b=b$$，则称该线性方程组不相容。 对于相容的线性方程组，根据定理3.2.1，我们能够求得该方程组的通解，其中特解$$x_0=A^{+}b$$又称作极小范数解。 此处给出例子以及计算过程： 设$$A=\begin{bmatrix} 1&-1&2 \\2&-2&1 \\ 1&-1&-1 \end{bmatrix}$$，$$b=\begin{bmatrix} 6 \\6 \\ 0\end{bmatrix}$$,已知线性方程组$$Ax=b$$为相容方程组，求该方程组的通解及极小范数解。 由定理3.2.1可知，相容方程组的通解形式为$$x=A^{+}b+(I_n-A^{+}A)c$$。 经计算，$$A^{+}=\begin{bmatrix} 0&1/6&1/6 \\0&-1/6&-1/6 \\ 1/3&0 &-1/3 \end{bmatrix}$$，$$(I_n-A^{+}A)=\begin{bmatrix} 1/2&1/2&0 \\1/2&1/2&0 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}$$， 故代入方程可得，通解$$x=A^{+}b+(I_n-A^{+}A)c=\begin{bmatrix} 1 \\-1 \\ 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1/2&1/2&0 \\1/2&1/2&0 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}c$$,极小范数解$$x_0=\begin{bmatrix} 1 \\-1 \\ 2\end{bmatrix}$$. 对于不相容的线性方程组，可以求得方程近似解$$u$$，并使误差$$\lVert Au-b \rVert$$极小。这里，我们需要给出最小二乘解的定义： 设$$A \in C^{m \times n},b \in C^{m}$$,存在$$x^{*}$$使得$$\lVert Ax^{*}-b \rVert=min_{x \in C^{n}} \lVert Ax-b \rVert$$,则将$$x^{*}$$称作线性方程组$$Ax=b$$的最小二乘解。若存在$$x_0$$使得$$\lVert x_0 \rVert \leq \lVert x^{*}\rVert$$，则将$$x_0$$称为最佳最小二乘解。要如何求得线性方程组的最佳最小二乘解，以下给出定理： 定理3.2.2 设$$A \in C^{m \times n}$$,$$b \in C^{m}$$,则$$x_0=A^{+}b$$为线性方程组$$Ax=b$$的最佳最小二乘解。 此处给出例子以及计算过程： 设$$A=\begin{bmatrix} 1&1&1&-2 \\0&1&2&0 \\ -1&0&-1&4 \end{bmatrix}$$，$$b=\begin{bmatrix} 1 \\2 \\ 3\end{bmatrix}$$,已知线性方程组$$Ax=b$$为不相容方程组，求该方程组的最佳最小二乘解。 由定理3.2.2可知，对于线性方程组$$Ax=b$$，其最佳最小二乘解$$x_0=A^{+}b$$. 根据1.3小节例题可得，$$A^{+}=1/30 \begin{bmatrix} 21&-9&9 \\26&-4&12 \\ -13&17 &-7 \\2&2&8\end{bmatrix}$$，则$$x_0=1/30 \begin{bmatrix} 21&-9&9 \\26&-4&12 \\ -13&17 &-7 \\2&2&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\2 \\ 0\\1 \end{bmatrix}$$. ### 3.3 线性方程组$$Ax=b$$的程序化求解 在3.2小节中，已经给出了对线性方程组$$Ax=b$$的求解过程，本节中希望利用编程软件，对该问题进行程序化，以简便纸面计算。以下给出程序设计思路： Step1: 接收输入的矩阵$$A$$与偏移量$$b$$，并计算$$A$$的M-P逆，得到$$A^{+}$$. Step2: 计算$$AA^{+}b$$,若$$AA^{+}b=b$$，则输出该方程组相容，转Step3；否则转Step4. Step3: 计算方程通解$$x=A^{+}b+(I_n-A^{+}A)c$$,并输出极小范数解$$x_0=A^{+}b$$. Step4: 该方程组不相容，计算并输出最佳最小二乘解$$x_0=A^{+}b$$. 根据上述设计思路，这里给出程序流程图： <img src="/2025/02/26/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA-%E5%B9%BF%E4%B9%89%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%8E%E6%80%A7%E8%B4%A8/1.png" class="" width="1"> 本节中代码与程序的编写采用Go1.24.0，程序在实现解线性方程组的基础上，还进行了前后端的可视化交互工作。前端在Web页面调取存储于后端的矩阵数据，用户通过点击选择参与计算的矩阵与计算需求，将请求发送至后端服务器，后端通过调用所实现的计算程序，向数据库写入计算结果，前端再从数据库读出数据，为用户呈现计算结果。 服务器端主要提供以下计算功能：计算矩阵最简行阶梯型，计算矩阵单侧逆(左逆、右逆)，计算矩阵减号逆，计算矩阵加号逆，判断线性方程组的相容性并计算最佳最小二乘解或极小范数解。 ## 第四节 ### 4.1 列昂惕夫投入产出模型 经济发展是国家建设中不可绕过的一个环节，自疫情时期以来，我国的经济建设面临着严峻的挑战，因此，构建经济模型，分析生产过程中的影响因素，从而为经济发展提供方向显得尤为重要。 俄国数学家列昂惕夫曾提出过“投入产出”经济模型，他将经济体系分作两个部分:生产部门、开放部门。其中生产部门负责提供商品与服务，这些部门在一年中所提供的总服务被记作$$x(x \in R^{n})$$,称作产出向量；而开放部门不负责生产商品或提供服务，相反的，这些部门仅仅消费商品或服务，对应最终需求向量$$d$$,它代表开放部门在一年间消费的商品或服务总和。除此之外，生产部门在满足消费者过程中，自身还会创造中间需求，需要将这些需求作为生产部门的投入。因此，列昂惕夫给出了以下数学模型： $$x=Cx+d$$

​ 其中，$x$为社会总供给，$C$为消耗矩阵，$d$为最终需求。通过化简该模型，我们可以得到

$$x=(I-C)^{-1}d$$

该表达式，又被称作列昂惕夫逆矩阵。

这里给出例子，以简单说明该模型的计算：

假设存在经济体系，该经济体系分为农业，制造业与服务业三大部门，其中农业每单位产出需要$0.2$单位本部门投入，$0.6$单位制造业投入，$0.1$单位服务业投入；制造业每单位产出需要$0.1$单位本部门投入，$0.3$单位农业投入，$0.3$单位服务业投入；服务业每单位产出需要$0.1$单位本部门产出，$0.6$单位制造业投入，不消耗农业投入。为满足最终需求$x=[18,18,0]^{T}$,求总产出水平。

根据上述描述，可以直接导出消耗矩阵$C=\begin{bmatrix} 0.1&0.6&0.6\\0.3&0.2&0\\0.3&0.1&0.1 \end{bmatrix}$,

计算得到$(I-C)^{-1}=\begin{bmatrix} 70/27& 20/9& 20/9\\35/36&25/12&5/6\\5/4&5/4&5/2 \end{bmatrix}$,

代入模型$x=(I-C)^{-1}d$得到总产出水平$x=[260/3,55,45]^{T}$.

尽管在大多数时候矩阵$(I-C)^{-1}$为可逆矩阵，对应的线性方程组$(I-C)x=d$存在唯一解，但在现实中，也有可能$det((I-C)^{-1})=0$的情况，这时便可以结合线性方程组解的理论，计算该方程组的最佳最小二乘解。

4.2 现实问题分析与求解

通常情况下,矩阵$(I-E)$是可逆的，因为对于一个部门而言，它在生产一单位产出的资源投入往往小于$1$，但在某些情况下，某一部门在生产过程中极度依赖另一部门的资源，这时，该部门在某一方面的资源投入将趋近于一$1$。这一情况在构造列昂惕夫逆矩阵时，可能会导致矩阵都某一行无限趋近于$0$,即该矩阵接近于奇异阵。针对该情况，可以对矩阵$(I-E)$进行满秩分解，从而求得其加号逆，再根据线性组$(I-C)x=d$的相容性，计算其最佳最小二乘解或通解与极小范数解。

根据国家统计局所给出的数据，截至至2017年，我国经济投入产出完全消耗系数如下，其中包含共计17大部门：(Ⅰ)生产农、林、牧、渔业部门单位，(Ⅱ)采矿业，(Ⅲ)食品、饮料制造及烟草制品业,(Ⅳ)纺织、服装及皮革产品制造业，(Ⅴ)其他制造业，(Ⅵ)电力、热力及水的生产和供应业，(Ⅶ)炼焦、燃气及石油加工业，(Ⅷ)化学工业，(Ⅸ)非金属矿物制品业，(Ⅹ)金属产品制造业，(Ⅺ)机械设备制造业，(Ⅻ)建筑业，(XIII)运输仓储邮政、信息传输、计算机服务和软件业，(XIV)批发零售贸易、住宿和餐饮业，(XV)房地产业、租赁和商务服务业，(XVI)金融业，(XVII)其他服务业。

分析上述数据所导出的消耗矩阵$C$与最终需求$d$,可以看到，尽管消耗矩阵$C$在数值上为取值$0$到$1$的小数，但在仅考虑国家统计局所给出的17大部门，该矩阵的规模便达到了$17\times17$，因此，若采用纸面计算，则该线性方程的计算开销与计算出错概率将显著上升，故使用程序化，代码化的运算逻辑，便能够有效提高计算效率，减少计算失误，从而为该类问题的纸面计算提供便捷。

根据列昂惕夫经济模型

$x=(I-C)^{-1}d$

从获取的数据中构造线性方程组$(I-C)^{-1}x=d$,通过编写好的程序计算得到方程组的解$x=(I-C)d$,该值代表2015年中国经济投入产出模型中，对社会总供给的预测，经计算该值为$19611224990$(万元)，结合2015年实际的社会总供给$20814465144.50$(万元)，即实际社会总供给仅超过预测的社会总供给$6.13\%$,因此，如果能够给出下一年的各部门经济投入产出的完全消耗系数，与社会终极需求的数据，再结合运算工具，便能够对下一年的社会生产提供指导，具有一定的现实意义。(该节所有参与运算的数据与结果详见附录)